【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って

第3回 圏と確率の融合・Approximate Computing(近似計算)・自然変換の重要性

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  • 日時:令和元年7月22日13時〜
  • 場所:東京大学工学部14号館にて
  • 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』⁠2019年8月9日発売)に先立って

西郷甲矢人(さいごうはやと)
『圏論の道案内』著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論⁠⁠。
成瀬誠(なるせまこと)
西郷先生と近年一緒に研究をされていて,情報物理の観点から,圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。

対談風景

左:成瀬誠先生  右:西郷甲矢人先生

第3回 圏と確率の融合・Approximate Computing(近似計算)・自然変換の重要性

西郷 連載第2回で,合成可能性,応用圏論について触れましたが,その中でもすごく大事な問題で,今は端緒に取り掛かっただけであり,かつ私の数学の能力の低さ故に遅々として進めないんだけれども,方向性として絶対に楽しいと思っているのが「圏と確率の融合」なんです。

圏論というのはその起源が代数学とか,代数的トポロジー*24と呼ばれる分野にありますので,基本的に代数的な構図,決して代数を無時間的とは私は思わないですけれど,やっぱり圏論には時間性を超えた印象が強い。もちろん数学全般そうですが,何となくこうスタティックなイメージ,綺麗に整えられたイメージが圏論の中にあると思うんですね。だけど,勿論潜在的な構造としてはきっちり綺麗になっているとしても,寧ろそれを背景として確率的にこう浮かび上がってくる,ゆらゆら揺れている,つまり圏がもっとこう揺らいでいるというか,射が生まれたり消えたりして,確率的に構造が変わっていくみたいな確率的な圏というものを考えることがすごく大切なことだと思っているんです。

*24 代数的トポロジー
代数的な手法を活用して研究を進めるトポロジーの分野。⁠トポロジーの世界」にあたる圏から「代数の世界」にあたる圏への関手,およびその関手のあいだの自然変換が活用される。歴史的には,この分野を進めるために圏論が開発された。

私も量子確率論*25という分野で非可換な量を含めた確率の基礎研究をやっていて,その理論レベルでは圏論と非常に関連はしているんですが,いざ応用というとまだまだ。やはりダイナミックに生まれたり消えたりする射,その確率の重みみたいなものを入れてモデリングしていくとかしないといけないと思う。圏の持っているきれいな数学的な構造をベースにしながら,それにあまり捕われることなく,確率的な構造とハイブリッドにすることが絶対に必要で,興味を持った方にはどんどんこの方向性に参画していただきたいですね。それが実は今回書籍を書いた理由のひとつでもあるんですけれども。きれいに閉じた世界,⁠あー,きれいですねえ」というのではなくて,法則性は整えられていたとしても,むしろそれは出発点に過ぎず,そこで,だから自由に遊べる,揺らぐというものを作りたい。圏の確率解析*26みたいなものができてくるといいのかなあと思っているんです。

*25 量子確率論
確率論を,量子論をも包含できる形に一般化したもの。⁠非可換」な量を扱う確率論といってもよい。代数的確率論,非可換確率論などとも呼ばれる。
*26 確率解析
偶然現象を解析するための「微積分法」にあたるもの。通常は伊藤解析,マリアヴァン解析,ホワイトノイズ解析(飛田解析)など確率論や関数解析に属する研究分野を意味するが,ここではもっとゆるい意味で,確率過程を扱う系統的な手法という意味で用いた。

私個人ではとてもそうはいかないですが,それがもっとできると,人間の比喩理解であるとか自然知能であるとか,そういうものについての根本的な研究が進むのではないか。本当にまだスケッチに過ぎないけれども,圏上のランダムウォーク,とくに関手圏上のランダムウォークやその「量子版」を考えることでうまく行きそうだと思っているところです。もちろん決定打ではないけれども,それはとても重要だなと思いますね。

成瀬 そうですね。ゆらゆらしたものでいうと最近のコンピューティングの最先端で注目されていてまた重要性も高まっているのが,Approximate Computing,近似計算*27という考え方です。これは,計算は間違えてもいい。1+1=3でも,ときとして1+1=0.5でもいい。その代り,省エネ性が100倍良いとか,回路面積が激減するとか。計算はテキトーでいい。つまり,⁠同じ」っていう考え方を正確性に関しては激しく緩める。その代わりに例えば省エネ性で,今後はたとえばデータセンターやIoTなどで省エネ性がとてつもなく大事になるので,そっちを重視して正確性を犠牲にする。こういうApproximate Computing の理論的基礎は,僕の認識ではいまのところ全くないのですが,そういったところにも今話のあった確率的圏論は関係するかもしれないですね。

*27 近似計算
Approximate Computing の日本語訳。計算や記憶の誤差を許容し,エネルギー効率の向上などのメリットを引き出す考え方。ムーアの法則の終焉や並列化の限界が見え始め,近似を様々なかたちで積極的に生かすアプローチが注目されている。

西郷 だからそういうことをやりながらもしっかり安全性を確保することが大事なんですよね。この本に興味を持つ人の何割かは,この本の9章にあるモナド*28に興味があるかもしれませんが,その中にKleisli圏*29のことがちらっと書いてあるんです。これは非決定論的なコンピューティングを考えるうえでも基礎になる概念でもあるんですね。そのKleisli圏とかモナドっていうものを理解するためには,少なくとも圏論で一番重要な概念といってもいい自然変換を理解する必要がある。この自然変換の概念がものすごく大事で,この本は自然変換の大事さを宣伝したいという気持ちで書いています。圏,関手くらいはすぐわかったつもりになれても,自然変換というものが腑に落ちるまで,けっこう大変だなあと思っていて。逆に言えば圏論の真の新しさはそこにあるわけです。この自然変換というものが,⁠遊びを許しながらちゃんとしっかりしている」というような概念をつかまえるためにものすごく大事だと考えています。

*28 モナド
詳しくは本書に譲るが,非決定論的なものも含むある種の「ダイナミクス」を上手に記述できる圏論的な概念。
*29 Kleisli圏
詳しくは本書に譲るが,モナドから随伴を導く際に構成される圏であって,非決定論的なものも含むある種の「ダイナミクス」を,状態遷移的な形で記述したものとしても解釈できる。

成瀬 そうですね。

西郷 自然変換というものを成瀬先生も勉強されたときに,難しいなと思われたり,感動されたり,いろいろあったと思うんですけれども,もしかしたらもうだいぶ慣れてしまったかもしれないですが,どうでしたか?自然変換という概念をはじめに知ったとき。わかったかなあと思ったときとか。

成瀬 私が自然変換をわかったと言えるのは西郷先生らとのソフトロボティクスの研究のときですね。つまり,物理的な実現形態が毎回違うのだけれども,ものをつかむという意味では同じ。自然同値の概念で,しっかり理論化できてしまう。さきほどのApproximate Computingも自然変換で基礎付けられるのかもしれません。

それから2016年に米国Google本社で開催されたScience Fooという学際融合会議で一緒になって以来研究協力が発展しているGeorg Northoff博士。Georgと西郷先生らとの議論も刺激的でした。Georgは精神医学者かつ脳科学者かつ哲学者なんですが,自ら取り組む脳研究の理論に強い欠落感を感じていた。そこに圏論,あっこれは何かあると思って飛びついてきましたね。自腹でオタワから長浜に何回来ましたかね。例えば「自己(self⁠⁠」の研究。昨日の私と今日の私は髪の毛も伸びているし,ひげも伸びているし,違う,同型じゃない。ところが自己の一貫性という意味では,よほどのことがない限り維持されている。自然変換でつながっているわけですね。

西郷 そうですね,と言ってしまって正しいとは思うんですが,これは本当に今論文を通そうと頑張っているところなんです。意識研究の泰斗であるGeorg Northoffさんとか土谷尚嗣さんなんかと一緒にやっている話では,意識の本質自体が自然変換ではないかと。意識というのはある時点での状態だけで捉えられるものではないというのは状況証拠はかなり挙がってきていまして,ここからここまでのずれみたいなものとして意識をとらえる。でも,ずれればなんでも意識はあるかというとそうではないはずで,異なる中の同じさ,ある種の自然変換的な,意識と自然変換,自己と自然変換みたいなものが単なるお題目じゃなくてかなり精密に言えるんじゃないかというのはちょっと思っているところなんですね。

北大の哲学者ですけれども田口茂さんと書いている本(今年に出ると思います。ほぼ書き終えているんですが)の中でもやっぱり,自然変換という概念の重要性というのはもちろん非常に定性的ではあるんですけれども,主張しています。たぶんこうした方向性がいままで数学と縁がないと思われていた分野も含めて圏論が貢献できるという例に成長していくんじゃないかなと思うんですね。

次回,『世界の見方を拡げる』に続く……

著者プロフィール

西郷甲矢人(さいごうはやと)

1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)。